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Más Números Un Poco Más Extraños

Más Números Un Poco Más Extraños - Ciencia

Hace unas semanas, publicaba un artículo titulado “Esas extrañas ideas llamadas números” en donde exponía el proceso por el cual el hombre había incorporado a su proceso de razonamiento el concepto de números naturales: ya saben, los primeros, esos que nos enseñan en el jardín de infancia. Su nombre está justificado; son los números más simples, los que surgen a consecuencia de la necesidad de contar. Constituyen el conjunto más sencillo de números. Pero conforme el ser humano avanzaba en el desarrollo de las matemáticas, era inevitable que llegara a caracterizar otros conjuntos de números diferentes.

Es evidente que con los números se opera. Las operaciones más simples, por intuitivas y cotidianas, son la suma y la resta. Es evidente que, si a un número natural le restamos otro número natural mayor que él, el resultado no es otro número natural. Es un número negativo. Ahora mismo, todos entendemos perfectamente el significado de tal afirmación, especialmente si alguna vez hemos quedado al descubierto en una cuenta bancaria. Pero en el siglo VII la cosa no estaba tan clara. Hemos de referirnos otra vez matemático indio Brahmagupta, el que estableció que el cero era un número. Éste relacionó, con buen criterio, a los números positivos (los naturales, vaya) y los negativos con los conceptos de “riquezas” y “deudas”, respectivamente. (Una prueba de que ya en aquella época, las personas no se libraban de agobios financieros: va a ser verdad eso de que no hay nada nuevo bajo el sol).  Sin saberlo, estaba caracterizando otro nuevo conjunto numérico: el de los números enteros. En él están incluidos los números naturales, a los que añadimos los números negativos, y por supuesto, el escurridizo “cero”, con un comportamiento algo especial a la hora a operar con él (especialmente a la hora de dividir…pero ya nos ocuparemos de eso en otra ocasión).

El siguiente conjunto por mencionar es el de los números racionales. O sea: las fracciones. Estos números también son fáciles de relacionar con determinadas situaciones cotidianas, como puede ser dividir una unidad de cualquier cosa en partes iguales y después tomar sólo un número determinado de ellas. (¿A que recuerdan ustedes a su entrañable maestra de primaria, a la que tanto adorábamos (o tal vez no) explicándoles esto con el ejemplo de una tarta?). Las fracciones son fáciles de interpretar, porque desde tiempos inmemoriales son de vital importancia para el comercio y los negocios (¿Cómo dividir el trigo cosechado en estos dos días de trabajo entre mis siete jornaleros, si no todos han trabajado las mismas horas?). Por eso sumerios, babilonios, egipcios (el hecho está verificado en multitud de papiros), griegos y romanos fueron capaces de manejarlas con una más que aceptable destreza, sin que les preocuparan mucho sus connotaciones en el desarrollo de la matemática. Las fracciones, o como se decía hace unos años, los quebrados, llevan implícita la idea de división y proporcionalidad, con una utilidad práctica que se aleja mucho de la abstracción de otros conceptos matemáticos. Al conjunto de todas las fracciones existentes (que, por supuesto, son infinitas, como es habitual en los conjuntos numéricos) se le conoce como conjunto de los números racionales.

O sea, dirán ustedes, que en realidad los números racionales son muy anteriores a conceptos como el cero. Pues sí. Muy, muy anteriores. Aunque quizá fue Pitágoras el primero que analizó en profundidad las fracciones. Pitágoras es una de esas figuras fascinantes que de vez en cuando nos regala la historia, aunque es cierto que algunas de los descubrimientos y méritos que se le atribuyen pueden haber sido establecidos por sus compañeros de la secta de incondicionales de la que se rodeó y que se conocieron como mathematikoi. Pitágoras nació en el año 569 antes de Cristo, y tuvo una vida azarosa que incluyó una o varias estancias en Egipto, donde conoció personajes que compartieron con él secretos milenarios lo que sin duda influyó en sus conocimientos y trayectoria vital. Después hablaremos del famoso teorema que lleva su nombre, pero en el contexto en el que nos encontramos ahora, la idea que quiero destacar es la siguiente: los miembros de su escuela filosófica estaban seguros de que TODOS LOS NÚMEROS eran racionales. Dentro de unas líneas, tendremos ocasión de comprobar la falsedad de tal afirmación. Terminamos diciendo que la manera de escribir las fracciones tal como lo hacemos en la actualidad, empezó a usarse ¡unos mil años después de Pitágoras! También como anécdota comentarles que, si pasamos nuestras fracciones a notación decimal, obtenemos un desarrollo que se adapta SIN EXCEPCIÓN a algunos de estos tres tipos:

5/10 = 0,5: decimal exacto, con un número finito de decimales.

1/3   = 0,3333…: decimal periódico puro, con infinitos decimales, que se repiten.

7/12 = 0,58333…: decimal periódico mixto, con infinitos decimales que se repiten, y un anteperiodo.

Los pitagóricos estaban fascinados con los números racionales. Desde sus escuelas, defendían como indiscutible la idea, reconozcamos que atractiva porque siempre hemos querido entender las cosas, de que todos los fenómenos a los que asistíamos a diario, en resumen, la vida, el universo, podían describirse mediante relaciones de números, o sea, fracciones. Pero…el entusiasmo suele preceder a la decepción, también en el siglo V antes de Cristo. Pronto se dieron cuenta, en medio del estupor general, de que estaban equivocados. Y lo advirtieron precisamente (ironías del destino) analizando el teorema de Pitágoras. Como todos ustedes saben, este puede enunciarse diciendo que “En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”. Es fácil de entender, y más fácil todavía si nos apoyamos en la interpretación geométrica:

(Área verde + área morada = área roja)

Si un cateto tiene una longitud de 5, el otro cateto tiene una longitud de 12, y la hipotenusa mide 13 unidades de longitud, el teorema se cumple sin problemas, siendo los tres números implicados números naturales:

5×5 + 12×12 = 13×13

Perfecto, pero… ¿qué ocurre si los catetos, miden, por ejemplo, una unidad de longitud cada uno? Pues, para espanto de los Pitagóricos (y no es una exageración: consideraron el descubrimiento como ¡HERÉTICO!), la hipotenusa no podía ser representada por una fracción. (Claro, ahora lo entendemos perfectamente…la hipotenusa toma en este caso un valor de raíz de dos…y raíz de dos no puede ser expresado por una fracción…. PORQUE ES UN NÚMERO IRRACIONAL) Toma ya: otro tipo de números que nos aparece en escena. ¿Es que esto no deja nunca de complicarse? Pues…la verdad es que no.

Pero nos estamos extendiendo mucho, así que intentaré resumir el final de la historia: los pitagóricos intentaron mantener el secreto, al final algunos discípulos, entre ellos un tal Hipaso,            hicieron público el descubrimiento, y no sólo por esa causa, el final de la escuela  y las comunidades fundadas por Pitágoras (con fuertes connotaciones políticas y filosóficas que chocaban con los intereses de determinados poderes fácticos) tuvieron un final que no estuvo exento en algunos casos de una violencia extrema.

¿Y qué son, al final, los números irracionales? Pues aquellos que NO PUEDEN REPRESENTARSE MEDIANTE UNA FRACCIÓN, y que NO TIENEN UN DESARROLLO DECIMAL NI FINITO NI PERIÓDICO. ¿Algunos ejemplos? Pues raíz de dos, raíz de cinco, el número “pi” que relaciona el radio de la circunferencia con su longitud, y otros algo más desconocidos como el número “e” o el “número de oro” de los que con un poco de suerte hablaremos otro día.

Los números racionales y los irracionales forman el conjunto de los números reales, que se designa con la letra R.

Sólo un último dato que justifica que llamemos así a nuestros ya familiares conjuntos numéricos:

N es la inicial de naturel en francés y natural en inglés o español.

Z es la inicial de zahl en alemán.

Q es la inicial de qotient en francés e inglés.

I y R es la inicial de Irracional en nuestro inigualable idioma.

Por supuesto, todavía no hemos acabado con los conjuntos numéricos existentes, por lo cual tal vez en el futuro podamos hablar de unos números verdaderamente extraños: los números complejos o imaginarios.

Y un último consejo: si desean conocer (de forma novelada, eso sí, con todas las ventajas e inconvenientes que eso conlleva) algo más de los pitagóricos y su aventura histórica pueden dedicar unos días de su tiempo a leer la obra “El asesinato de Pitágoras”, de Marcos Chicot. Entretenida, con un nivel de suspense adecuado y que nos hace a todos, casi sin darnos cuenta, un poco más cultos.                       

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Truebano

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